对集合，求出其中有多少子集，使得子集中的元素和为5的倍数。本文对3Blue3Brown的解法上进行总结，形成较为数学化的语言。本题背后有较为深刻的数学思想，故记载于此。
把原问题转化为生成函数
原题是：对集合，求出其中有多少子集，使得子集中的元素和为5的倍数。
首先容易想到的是，可以采用穷举法，遍历的每个子集，检查是否满足条件。但是，穷举法的复杂度是，这对计算机来说都是一个天文数字。显然，需要另辟蹊径。
不妨先简化一下题目：求出集合中有多少个子集，使元素之和为，我们可以很快地列出这些集合：
换句话说，可以表示为：，如果我们把它表示成一个关于未知数的多项式，那么就有：
什么情况会同时出现呢？答案是生成函数。这启发我们使用下面的生成函数：
这个多项式展开之后的结果是：
注意五次项前面的系数是3，这是因为，有三个来源，分别是，正好对应了之前简化题中的结果！
现在分析一下，多项式中的每个项，都代表了整数，如果在括号中选择了，则表示把这个整数加入集合，如果选择了，则表示不加入。而把整个多项式展开之后的结果，项前面的系数，正好代表了元素之和为的集合的个数！
这时候，我们就能把原问题转化为下面的生成函数：
求出其中所有次数为的倍数的项系数之和：
下面的问题就是如何求出。
转化为复数问题
显然，我们不可能把中的每一项都求出来，只能设法一次求出，那么怎么办呢？
我们还是先考虑简化问题，假设现在生成函数是:
如果我们代入，可以求得；如果代入，可以求得；再代入，有。用展开式表示结果：
通过后面两式，不难得到：
我们找到了所有奇数项系数之和，但是我们的目标是所有的倍数的项系数之和。但这个过程可以给我们一个启发：是否可以通过代入某些值到生成函数中，通过加减运算消去我们不关心的项，得到最终的结果。
分析我们把代入到中每一项的过程，所有的偶数项结果都是，所有的奇数项结果都是。换句话说：这个值对函数的未知项的循环次数为，或者，每两项代入的结果都相同。同理，对来说，循环次数是。
那么，什么时候循环次数是呢？也就是，代入哪个数，会使得，或者。显然，在复空间中，这个数就是。也就是说，如果令，则有个数满足我们的要求，其中就是我们熟知的实根。
更关键的是，这几个数的和是：
现在，分别把这五个值代入到展开的生成函数中，有：
注意对应的项，正好都有，把它们加起来，有：
是已知的，所以上面的结果就变成了：
现在整个式子右边只留下常数和的倍数的项！
唯一遗留的问题就是式子左侧的是多少，或者说是多少，因为只要知道了，的值也就知道了。
这里的技巧是，因为是方程的五个根，所以可以把它们表示成：
把代入：
从而，我们也就有，而。所以，我们就得到了：
这样一来我们考虑的简化版问题就得到了解决！
按照这个思路，我们同样可以得到原始问题的解决，分为几步。
第一步：设是方程的五个根，把它们分别代入生成函数中，相加，就得到：
第二步：把表示为，通过代入解出。
第三步：把代入到生成函数中，可以得到，同理有，同时有。
第四步：把所有值代回第一步中的结果，得到最终答案。
总结
本题背后蕴藏着较为深刻的数学思想，一方面是巧用生成函数把一个计数问题转化为一个分析问题，另一方面是使用复数消去某些项，直接求出想要的结果。通过本题，我们可以充分了解到复数所蕴含的关于周期和频率的思想，从而也就能理解为什么傅里叶变换用复数表征。
把本题稍微进行推广：对集合和正整数，其中。设中满足元素之和为的倍数的子集个数为，你能求出的表达式吗？