一道有趣的概率题

设独立同分布，令，求。换句话说，我们要求最先使得若干个独立同分布于的随机变量之和大于的期望。

问题定义

这个问题的定义已经定义在上面了，这里再复述一遍：

设独立同分布，令，求。

引入函数

乍一看这个题似乎无从下手，但是我们可以发现这里这个条件似乎可以换成任意一个，这启发我们用一个函数去表示我们要求的式子，然后通过求解一个“递推式”（实际上是一个微分方程）解出这个函数，进而得到某个具体点的值。

从这个思路出发，我们不妨定义，进而令。显然，我们的目标就是求。

求解方程

那么，怎么求出呢？注意题目中的条件独立同分布，因此我们可以把里面的拆出来，变成：

为了简便起见，我们不妨限定。此时考虑两种情况：和。

如果，那么就等于，所以这等价。

如果，那么就相当于后面的且，再由独立同分布知道这就是，但这是以为条件的，所以实际上还要对求个积分，也就是：

把上面两个加起来，就有：

进而得到微分方程及其初始值：

很容易求解得到，所以我们就能得到最终的答案。